2018宝清国考笔试不定方程

在近两年的考试中，不定方程的考察呈上升趋势，它是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
　　中国是研究不定方程早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
　　现在不定方程我们都按照同余特性学习应用，为了更加方便快捷，我们讲解几种具体方法：尾数、奇偶、质合。
　　【例1】现在149个相同大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子必须装满，则需要大袋子的个数是?
　　A 6 B 7 C 8 D 9
　　【解析】设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=149，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数是0;则大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7，选B。
　　【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均的分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?
　　【解析】此题初看无处入手，条件仅仅有每个教师所带学生数量为质数，条件较少，无法直接利用数量关系来推断，需利用方程法。
　　设每名钢琴教师带x名学生，每位拉丁舞教师带y名学生，则x、y为质数，且5x+6y=76。对于这个不定方程，需要从整除特性、奇偶性或质合性来解题。
　　6y是偶数，76是偶数，所以5x也是偶数，由于“每个教师所带学生数量为质数”，x=2，可知y=11。现在的学员人数2×4+11×3=41人。